Раздел 3. Задачи выбора решений, отношения, функции выбора, функции полезности, критерии
3.3 Функция полезности
Пусть заданы критерии 
- множество векторных оценок вариантов по этим критериям.
Пусть на X задано R - отношение предпочтения. Числовая функция 
называется функцией полезности (ценности, предпочтительности), если она обладает следующим свойством: 
Если известна функция полезности, то поиск оптимального варианта сводится к задаче нахождения 
, - аргумента максимума функции полезности на множестве X.
Как найти функцию полезности? Методы построения функции полезности делятся на эвристические и аксиоматические.
К эвристическим методам можно отнести метод главного критерия и метод обобщенного критерия.
Метод главного критерия сводится к оптимизации по одному выбранному критерию, при условии, что остальные критерии не больше (или не меньше) приемлемых значений.
Метод обобщенного критерия заключается в свeртке набора критериев в числовую функцию, которая и будет являться функцией полезности.
Виды свeрток:
1) аддитивная свeртка:
2) мультипликативнаясвeртка:
3) приведенная свѐртка: 
по всем 
(или 
по всем ).
Аксиоматические методы построения функции полезности - это формальные методы, основанные на том, что формулируются специальные предположения (аксиомы) о свойствах предпочтения, выполнение которых гарантирует существование функции полезности конкретного вида.
Обычно, при использовании таких методов функцию полезности строят в аддитивном виде:
как сумму функций полезности по каждому критерию с некоторыми весовыми коэффициентами 
Пусть 
- подмножество множества критериев , т.е.
группа критериев с номерами из множества 
.
Тогда 
- все остальные критерии ,
а векторная оценка х представляется в виде 
Говорят, что критерии 
не зависят по предпочтению от критериев ,
если предпочтения для любых двух оценок 
и 
содержащих одинаковые компоненты с номерами из 
не зависят от самих значений этих компонент.
Пример 1.
Таким образом, 
Если критерии не зависят по предпочтению от критериев и оценка х предпочтительнее, чем оценка у, то и,
например, оценка 
будет предпочтительнее, чем 
, потому что их значения по критерия м из группы совпадают с соответствующими значениями
оценок х и у, а оценки по остальным критериям одинаковые. Таким образом, вместо 
можно подставить любую оценку (а, b) и предпочтение сохранится: (7,а,2,8,b) предпочтительнее, чем (4,а,8,3,b).
Критерии 
такие, что любой набор из них не зависит по предпочтению от остальных критериев , называются взаимно независимыми по предпочтению.
Теорема Дебре (критерий существования аддитивной функции полезности): функция полезности может быть задана в аддитивном виде (*) тогда и только тогда, когда критерии
взаимно независимы по предпочтению (при 
).
При n=2, кроме взаимной независимости критериев, требуется выполнение условия соответственных замещений (при оно выполняется автоматически):
если 
и 
то
и 
Т.е., если увеличение на b и c разных значений 
и 
критерия 
при
некотором опорном значении 
критерия 
компенсируется одним и тем же
уменьшением этого значения критерия , то такие же увеличения b и c тех же
значений и критерия сохраняются и при любом другом опорном значении
критерия .
Как осуществляется проверка взаимной независимости критериев по предпочтению?
Непосредственно по определению проверить независимость критериев затруднительно, т.к. даже при небольших n возникает большое число вариантов, которые надо проверить.
Утверждение (Леонтьева-Гормана): если любая пара критериев 
не зависит по предпочтению от остальных (n-2) критериев, то все критерии взаимно независимы по предпочтению.
Таким образом, проверка сводится к установлению независимости только всех пар критериев от всех остальных критериев.
Пусть необходимо проверить на независимость по предпочтению наборы и
. Берѐм набор 
наилучших (явно хороших) значений и
подбираем (запрашиваем у ЛРП ) два разных набора 
и
таких, что 
Затем берѐм набор 
самых плохих оценок и спрашиваем у ЛРП , сохранилось ли безразличие
? Если нет, то критерии зависят от критериев .
Если да, повторяем процедуру еще для некоторых других и . Если всё время
безразличие остаётся, задаём вопрос в общем виде (сохранится ли безразличие
при любых наборах). Если да, то наборы критериев и независимы.