Раздел 6. Задачи скалярной оптимизации, линейные, нелинейные, дискретные
6.6 Решение задач о выборе оборудования, о ранце
Задача о выборе оборудования.
На приобретение оборудования для нового участка цеха выделено 20 тыс. руб. При этом можно занять площадь не более 38 м2. Имеется возможность приобрести станки типа А и станки типа Б. При этом станки типа А стоят 5 тыс руб., занимают площадь 8 м2 (включая необходимые технологические проходы) и имеют производительность 7 тыс. единиц продукции за смену. Станки типа Б стоят 2 тыс. руб., занимают площадь 4 м2 и имеют производительность 3 тыс. единиц продукции за смену. Необходимо рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий при заданных ограничениях максимум общей производительности участка.
Пусть x - количество станков типа А, а y - количество станков типа Б, входящих в комплект оборудования. Требуется выбрать комплект оборудования так, чтобы максимизировать производительность С участка (в тыс. единиц за смену):
С = 7 x + 3 y → max .
При этом должны быть выполнены следующие ограничения: по стоимости (в тыс. руб.) 5 x + 2 y ≤ 20,
по занимаемой площади (в м2) 8 x + 4 y ≤ 38,
а также вновь появляющиеся специфические ограничения по целочисленности, а именно,
x ≥ 0 , y ≥ 0 , x и y - целые числа.
Сформулированная математическая задача отличается от задачи линейного программирования только последним условием целочисленности. Однако наличие этого условия позволяет (в данном конкретном случае) легко решить задачу перебором. Действительно, как ограничение по стоимости, так и ограничение по площади дают, что x ≤ 4. Значит, x может принимать лишь одно из 5 значений: 0, 1, 2, 3, 4.
Если x = 4, то из ограничения по стоимости следует, что y = 0, а потому С = 7 x = 28.
Если x= 3, то из первого ограничения вытекает, что y ≤ 2, из второго y ≤ 3. Значит, максимальное С при условии выполнения ограничений достигается при y =2, а именно С = 21 + 6 = 27.
Если x= 2, то из первого ограничения следует, что y ≤ 5, из второго также y ≤ 5. Значит, максимальное С при условии выполнения ограничений достигается при y =5, а именно С = 14 + 15 = 29. Если x= 1, то из первого ограничения имеем y ≤ 7, из второго также y ≤ 7. Значит, максимальное
С при условии выполнения ограничений достигается при y = 7, а именно С = 7 + 21 = 28.
Если x= 0, то из первого ограничения вытекает y ≤ 10, из второго y ≤ 9. Значит, максимальное С при условии выполнения органичений достигается при y = 9, а именно С = 27.
Все возможные случаи рассмотрены. Максимальная производительность С = 29 (тысяч единиц продукции за смену) достигается при x = 2, y = 5. Следовательно, надо покупать 2 станка типа А и 5 станков типа Б.
Задача о ранце.
Общий вес ранца заранее ограничен. Какие предметы положить в ранец, чтобы общая полезность отобранных предметов была максимальна? Вес каждого предмета известен.
Есть много эквивалентных формулировок. Например, можно вместо ранца рассматривать спутник, а в качестве предметов - научные приборы. Тогда задача интерпретируется как отбор приборов для запуска на орбиту. Правда, при этом предполагается решенной предварительная задача - оценка сравнительной ценности исследований, для которых нужны те или иные приборы.
Перейдем к математической постановке. Предполагается, что имеется n предметов, и для каждого из них необходимо решить, класть его в ранец или не класть. Для описания решения вводятся булевы переменные Хk, k = 1,2,…,n (т.е. переменные, принимающие два значения, а именно, 0 и 1). При этом Хk= 1, если предмет размещают в ранце, и Хk= 0, если нет, k = 1,2,…, Для каждого предмета известны две константы: Аk- вес k-го предмета и Сk- полезность k-го предмета, k = 1,2,…,n . Максимально возможную вместимость ранца обозначим В. Оптимизационная задача имеет вид:
C1 Х1 + С2 Х2 + С3 Х3 + …. + СnХn → max ,
А1 Х1 + А2 Х2 + А3 Х3 + …. + АnХn ≤ В.
В отличие от предыдущих задач, управляющие параметры Хk, k = 1,2,…,n , принимают значения из множества, содержащего два элемента - 0 и 1.
К целочисленному программированию относятся задачи размещения (производственных объектов), теории расписаний, календарного и оперативного планирования, назначения персонала и т.д.
Существуют два распространенных метода решения задач целочисленного программирования.
Метод приближения непрерывными задачами. В соответствии с ним сначала решается задача линейного программирования без учета целочисленности, а затем в окрестности оптимального решения ищутся целочисленные точки.
Методы направленного перебора. Из них наиболее известен метод ветвей и границ. Суть метода такова. Каждому подмножеству Х множества возможных решений Х0 ставится в соответствие число - "граница" А(Х). При решении задачи минимизации необходимо, чтобы А(Х1) ≥ А(Х2), если Х1 входит в Х2 или совпадает с Х2 .
Каждый шаг метода ветвей и границ состоит в делении выбранного на предыдущем шаге множества ХС на два - Х1С и Х2С. При этом пересечение Х1С и Х2С пусто, а их объединение совпадает с ХС. Затем вычисляют границы А(Х1С ) и А(Х2С) и выделяют "ветвь" ХС+1 - то из множеств Х1С и Х2С, для которого граница меньше. Алгоритм прекращает работу, когда диаметр вновь выделенной ветви оказывается меньше заранее заданного малого числа
Для каждой конкретной задачи целочисленного программирования (другими словами, дискретной оптимизации) метод ветвей и границ реализуется по-своему. Есть много модификаций этого метода.